ANOVA

A.    Analysis of Varience

Analysis of Varience/ANOVA digunakan untuk menguji perbedaan rata-rata lebih dari dua sampel

Dasar Pengujian: Pengambilan keputusan menggunakan distribusi F. Oleh karena itu Uji Anova sering pula disebut Uji-F.

Keunggulan:

•      Mampu melakukan perbandingan untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi.

•      Dapat mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.

Asumsi:

•      Data berdistribusi normal

•      Skala pengukuran minimal interval

•      Varians homogen

•      Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen

B.     Pembagian ANOVA:

A)    One Way ANOVA (satu arah): beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari satu variabel bebas. Anova satu arah (one way anova) digunakan apabila yang akan dianalisis terdiri dari satu variabel terikat dan satu variabel bebas. Interaksi suatu kebersamaan antar faktor dalam mempengaruhi variabel bebas, dengan sendirinya pengaruh faktor-faktor secara mandiri telah dihilangkan. Jika terdapat interaksi berarti efek faktor satu terhadap variabel terikatakan mempunyai garis yang tidak sejajar dengan efek faktor lain terhadap variabel terikat sejajar (saling berpotongan), maka antara faktor tidak mempunyai interaksi. Ada tiga bagian pengukuran variabilitas pada data yang akan dianalisis dengan anova, yaitu :

1.       Variabilitas antar kelompok (between treatments variability) Variabilitas antar kelompok adalah variansi mean kelompok sampel terhadap rata-rata total, sehingga variansi lebih terpengaruh oleh adanya perbedaan perlakuan antar kelompok, atau Jumlah Kuadrat antar kelompok (Jka).

Rumusnya adalah :

Atau bisa dicari dengan rumus :

Keterangan :

k = banyaknya kelompok

T = total X masing-masing kelompok

G = total X keseluruhan

n = jumlah sampel masing-masing kelompok

N = jumlah sampel keseluruhan

One Way ANOVA digunakan untuk menguji perbedaan rata-rata lebih dari dua sampel.

Asumsi-asumsi One Way ANOVA:

Ø  Populasi yang akan diuji berdistribusi normal.

Ø  Varians dari populasi-populasi tersebut adalah sama.

Ø  Sampel tidak berhubungan satu dengan yang lain.

Prosedur Uji Hipotesis Anova Satu Arah :

1.      Menentukan Hipotesis (Ho dan H1)

-          Hm = m = = mk : ... 0 1 2

Yaitu artinya, semua rata-rata (mean ) populasi adalah sama

Tidak ada efek faktor terhadap variabel respon

-          H1 : Tidak semua m i sama, i=1,2,…k

Yaitu artinya, minimal satu rata-rata populasi berbeda (yang lainnya sama)

Ada efek atau pengaruh faktor terhadap variabel respon

Tidak berarti bahwa semua populasi berbeda

2.      Menentukan tingkat Signifikansi ( a )

3.      Tentukan derajat kebebasan (df)

 df JKa = k-1

 df JKd = N-k

4.      Analisis dan Menentukan F-hitung dan F-tabel

5.      Menentukan daerah Kritis

-          H0 ditolak jika Sig. < a

-          H0 ditolak jika F-hitung > F-tabel

6.      Menentukan kriteria pengujian

Ho diterima jika ≤ F tabel

Ha diterima jika > F tabel

Untuk menentukan Ho atau Ha diterima maka ketentuan yang harus diikuti adalah :

a.       Bila F hitung sama atau lebih kecil dari F tabel maka Ho diterima dan Ha di tolak.

b.      Bila F hitung lebih besar dari F tabel maka Ho ditolak dan Ha diterima.

7.      Keputusan

8.      Pasca Anova (jika ada).

9.      Kesimpulan

B)    Two Way ANOVA (dua arah): beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari beberapa variabel bebas. ANOVA dua arah ini digunakan bila sumber keragaman yang terjadi tidak hanya karena satu faktor (perlakuan).Faktor lain yang mungkin menjadi sumber keragaman respon juga harus diperhatikan.Faktor lain ini bisa perlakuan lain atau faktor yang sudah terkondisi. Pertimbangan memasukkan faktor kedua sebagai sumber keragaman ini perlu bila faktor itu dikelompokkan (blok),sehingga keragaman antar kelompok sangat besar,tetapi kecil dalam kelompok sendiri.

Tujuan dan pengujian ANOVA 2 arah ini adalah untuk mengetahui apakah ada pengaruh dari berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil yang diinginkan.

Keterangan :

JKT : Jumlah Kuadrat Total

JKB : Jumlah Kuadrat Baris

JKK : Jumlah Kuadrat Kolom

JKG : Jumlah Kuadrat Galat

Goodness Of Fit

A.    Pengujian Goodness Of Fit

Pengujian hipotesis kompatibilitas (goodness of fit) merupakan pengujian hipotesis untuk menentukan apakah suatu himpunan frekuensi yang diharapkan sama dengan frekuensi yang diperoleh dari suatu distribusi, seperti distribusi binomial, poisson, normal, atau dari perbandingan lain. Jadi, uji goodness of fit merupakan pengujian kecocokan atau kebaikan suai antara hasil pengamatan (frekuensi pengamatan) tertentu dengan frekuensi yang diperoleh berdasarkan nilai harapannya (frekuensi teoretis).

B.     Uji Kecocokan atau Uji Kebaikan Suai:

Pengujian kecocokan atau kesesuaian antara frekuensi teramati dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada besaran:

     

Dimana:

: Nilai distribusi Chi-Squared, derajat kebebasan v = k - 1

k: Jumlah sel  atau kelas, dengan i = 1, 2, 3, ..., k.

o_i: Frekuensi pengamatan

e_i: Frekuensi harapan

Contoh:

Sebuah mall di Yogya memiliki 5 buah toko. Seorang analis ingin mengetahui apakah konsumen sama senangnya berbelanja di kelima toko tersebut. Dia mengumpulkan 1000 konsumen yang paling sering berbelanja ke mall tersebut. Datanya dirangkam dalam tabel berikut ini

Toko	A	B	C	D	E
Frekuensi	214	231	182	154	219

1.    Langkah pertama yang dilakukan untuk menjawab masalah di atas adalah menentukan rumusan hipotesis terlebih dahulu. Rumusan hipotesis adalah H0 : proporsi konsumen yang berkunjung kelima toko itu sama. (jika proporsinya dianggap sama, maka proporsi untuk setiap toko adalah 1/5 = 0,2 H1 : paling tidak dua diantara toko tersebut memiliki proposi yang tidak sama dengan 0,2.

2.    Langkah kedua adalah menentukan rumus/distribusi yang akan digunakan. Dalam kasus ini, dikarenakan terdapat 5 kategori, maka kita akan menggunakan distribusi chi square. 

3.    Langkah ketiga adalah menentukan daerah penolakan hipotesis. Dengan alpha sebesar 0,01 dan df = 5 – 1 = 4 maka nilai chi square tabel atau nilai kritis penolakan hipotesis adalah 13,227. Artinya bahwa jika statistic hitung di atas statistic tabel, maka hipotesis nol ditolak.

4.    Langkah keempat adalah menentukan nilai statistic hitung (uji) dengan cara kita membuat tabel seperti dibawah ini untuk mempermudah perhitungan. 

langkah terakhir adalah menarik kesimpulan. Dengan nilai statistic hitung sebesar 19,79 berarti lebih besar dari nilai statistic tabel sebesar 13,227. Dengan demikian, hipotesis nol kita tolak. Sehingga kita dapat mengatakan bahwa proporsi orang yang datang kelima toko tersebut tidaklah sama.

Uji Hipotesa

A.    Uji Hipotesa

Hipotesis pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar, dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan/pemecahan persoalan ataupun untuk dasar penelitian lebih lanjut. Hipotesis statistik ialah suatu pernyataan tentang bentuk fungsi suatu variabel atau tentang nilai sebenarnya suatu parameter

B.     Pengujian Hipotesis Statistik

Pengujian Hipotesis adalah  prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesis tersebut tidak wajar dan oleh karenanya ditolak.

Kebenaran dari suatu hipotesis tidak akan diketahui sebelum kita memeriksa keseluruhan dari Populasi. Namun karena tidak memungkinkan untuk memeriksa seluruh Populasi, maka kita akan mengambil sampel dari populasi tersebut dan menggunakan informasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menolak-nya dan bukan karena hipotesis itu benar, dan Penolakan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menerimanya-nya dan bukan karena hipotesis itu salah

C.    Perumusan suatu Hipotesis

Perumusan Hipotesis adalah kesimpulan yang ditarik sebagai jawaban sementara terhadap masalah penelitian. Perumusan suatu hipotesis sering dipengaruhi oleh bentuk peluang kesimpulan keliru. Agar mendapat dukungan yg kuat, maka suatu dugaan sering disampaikan dlm bentuk penolakan hipotesis

Tujuan perumusan hipotesis adalah sebagai langkah untuk menfokuskan masalah, mengidentifikasikan data-data yang relevan untuk dikumpulkan, menunjukkan bentuk desain penelitian, termasuk teknik analisis yang akan digunakan, menjelaskan gejala sosial, mendapatkan kerangka penyimpulan, merangsang penelitian lebih lanjut.

Hipotesis harus memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut.

1. Hipotesis harus menyatakan pertautan dua variabel atau lebih.

2. Hipotesis harus jelas, tidak membingungkan dan dalam bentuk deklaratif atau pernyataan.

3. Hipotesis harus dapat diuji secara empiris, yang berarti bahwa seseorang mengumpulkan data yang tersedia di lapangan untuk menguji kebenaran hipotesis tersebut.

D.    Tipe – tipe Hipotesis Statistik

1.      Hipotesis Deskriptif Hipotesis deskriptif adalah dugaan tentang nilai suatu variabel mandiri, tidak membuat perbandingan atau hubungan. Dalam perumusan hipotesis statistik, antara hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (Ha) selalu berpasangan, bila salah satu ditolak, maka yang lain pasti diterima sehingga dapat dibuat keputusan yang tegas, yaitu kalau H0 ditolak pasti Ha diterima. Hipotesis statistik dinyatakan melalui simbol-simbol.

Contoh:

Suatu perusahaan minimum harus mengikuti ketentuan, bahwa salah satu unsur kimia hanya boleh dicampurkan paling banyak 1%. Dengan demikian rumusan hipotesis statistik adalah : 𝐻0: 𝜇 ≤ 0,01 𝐻𝑎: 𝜇 > 0,01

2.      Hipotesis Komparatif Hipotesis komparatif adalah pernyataan yang menunjukkan dugaan nilai dalam satu variabel atau lebih pada sampel yang berbeda.

Contoh:

Apakah ada perbedaan daya tahan lampu merk A dan B ?

Rumusan Hipotesis adalah :

a.)    Tidak terdapat perbedaan daya tahan lampu antara lampu merk A dan B.

b.)    Daya tahan lampu merk B paling kecil sama dengan lampu merk A.

c.)     Daya tahan lampu merk B paling tinggi sama dengan lampu merk A.

Hipotesis statistiknya adalah :

Rumusan uji hipotesis dua pihak:

𝐻0:𝜇1 = 𝜇2

𝐻𝑎: 𝜇1 ≠ 𝜇2

Rumusan uji hipotesis satu pihak:

𝐻0:𝜇1 ≥ 𝜇2

𝐻𝑎: 𝜇1 < 𝜇2

Rumusan uji hipotesis satu pihak:

𝐻0:𝜇1 ≤ 𝜇2

𝐻𝑎: 𝜇1 > 𝜇2

3.      Hipotesis Hubungan (Assosiatif) Hipotesis asosiatif adalah suatu pernyataan yang menunjukkan dugaan tentang hubungan antara dua variabel atau lebih

Contoh:

“Apakah ada hubungan antara Gaya Kepemimpinan dengan Efektifitas Kerja ?”

Rumus dan hipotesis nolnya adalah :

Tidak ada hubungan antar gaya kepemimpinan dengan efektifitas kerja.

Hipotesis statistiknya adalah ;

𝐻0: 𝜌 = 0 𝐻𝑎: 𝜌 ≠ 0 ( 𝜌 = simbol yang menunjukkan kuatnya hubungan)

E.     Tipe-tipe Kesalahan

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kesalahan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama :

1.      Kesalahan tipe I yaitu menolak hipotesis (H0) yang seharusnya tidak ditolak atau Ho ditolak padahal Ho benar. Kesalahan ini disebut kesalahan α.

2.      Kesalahan tipe II yaitu tidak menolak hipotesis (H0) yang seharusnya ditolak atau Ho diterima padahal Ho salah. Kesalahan ini disebut kesalahan β.

F.     Prosedur Uji Hipotesis

Pengujian hipotesis ada tiga macam yaitu :

1.      Uji dua pihak

2.      Uji satu pihak yaitu pihak kanan

3.      Uji satu pihak yaitu pihak kiri

Untuk dapat memutuskan apakah H0 ditolak atau diterima, maka diperlukan kriteria tertentu dengan nilai tertentu baik dari hasil perhitungan maupun hasil dari tabel.  Kedua hasil tersebut dibandingkan. Dalam hal ini dimisalkan menggunakan perhitungan t dengan menggunakan rumus t sehingga diperoleh t-hitung. Kemudian dicari t-tabel dari tabel t dengan 𝛼 tertentu. Nilai t-tabel dua pihak dan satu pihak dengan 𝛼 tertentu diperoleh dengan melihat daftar atau tabel t. Sebelum mengadakan pengujian hipotesis, maka asumsi – asumsi yang berlaku hendaklah dipenuhi terlebih dahulu.

Asumsi-asumsi yang diperlukan sebelum melakukan pengujian hipotesis adalah :

1.      Nyatakanlah data yang akan diuji tersebut berasal dari sampel atau populasi. Jika menggunakan data sampel, maka rata – ratanya adalah 𝜇. Dan jika menggunakan data populasi, maka rata – ratanya adalah 𝜎.

2.      Data yang diuji berdistribusi normal.

G.    Langkah uji Hipotesa

1.      Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

2.      Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

3.      Hitung 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 atau 𝑧-ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (salah satu tergantung 𝜎 tak diketahui atau diketahui)

Jika 𝜎 tidak diketahui, maka 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 adalah :

Di mana :

𝑥̅ = rata-rata data yang ada

𝜇0 = rata-rata sekarang

𝑠 = simpangan baku

𝑛 = jumlah data sampel

Jika 𝜎 diketahui, maka 𝑧 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 adalah :

Di mana :

𝑥̅ = rata-rata data yang ada

𝜇0 = rata-rata sekarang

𝜎 = simpangan baku

𝑛 = jumlah data sampel

4.      Tentukan taraf signifikansi (𝛼).

5.      Cari 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dengan ketentuan :

𝛼 seperti langkah 4,

𝑑𝑘 = 𝑛 − 1

Dengan menggunakan tabel t diperoleh 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑧-𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

6.      Tentukan kriteria pengujian.

7.      Bandingkan 𝑡-ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 dengan 𝑡-𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑧-ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 dengan 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

8.      Buatlah kesimpulannya